Главное, о чем стоит всегда помнить, когда разговор идет за жанры музыки - это не сорта яблок. Тут не получится точно сказать: вот это мантет, это антоновка, а это белый налив - и все они совсем разные. Мало того, что границы жанров размыты, так они еще и трансформируются с течением времени.
А теперь к теме вопроса.
Если смотреть с точки зрения хронологии, то сначала появился альтернативный рок, который противопоставлял себя року мейнстримовому. Это было собирательное название для музыкантов самых разных стилей.
После, как это обычно и бывает, какие-то коллективы раскрутились, подписали контракты и вроде как сами стали теми, к кем сражались. Поэтому новое поколение протестующих придумало себе инди-рок, чтобы борьба с мейнстримом не утихала.
Используя эти словосочетания в быту, под альтернативным роком можно понимать все подряд - и альтернативный металл, и репкор, и постхардкор, и пост-еще-чего-нибудь. С инди-роком примерно та же история.
Если очень сильно утрировать и попытаться хоть как-то разделить эти очень сильно пересекающиеся области, то есть следующие ориентиры (само собой, с кучей оговорок и очень большой долей условности):
1. Альтернативный рок это скорее американское звучание, а инди-рок - скорее британское.
2. Альтернативный рок более агрессивен: рычащие вокалисты, килотонна дисторшн, пониженный строй и ломаные рифы - это все тут сплошь и рядом. Инди-рок звучит полегче: словно чуваки дают жару в гараже, но не как панк.
Самый простой способ понять в чем разница это все-таки послушать что-нибудь совсем разное, например Deftones и The Strokes.