Сперва спасибо за отличный вопрос.
Не такой уж и сложный, как в первом приближении может показаться - нет нужды проводить глубинный сравнительный анализ и перечислять все сходства и различия.
Потому что различаются когнитивная психология и бихевиоризм довольно радикально, на фундаментальном уровне философии науки. Собственно говоря, бихевиоризм - это и есть философия науки в психологии, а не сама наука или теория как таковые.
Если зрить в корень, то можно подчеркнуть, что когнитивная психология, при всей её видимой современности и "компьютерности" - построена на ментализме, архаичной концепции, которая, с поправкой на декоративные изменения в культуре, с человечеством ещё со времён шаманизма, тотемов и родо-племенного строя.
А в целом ментализм VS бихевиоризм - это отражение основного вопроса философии ("дух или материя?") в психологической области исследований.
Если упросить, то смысл в следующем: ментализм это учение о том, что первопричиной поведения живого существа является некая скрытая, даже метафизическая (сверхъестественная) сущность - ум, сознание, психика и т.п. Которую мы напрямую наблюдать, измерять и, соответственно, изучать объективными методами не можем.
И просто принимаем как аксиому, что то, что мы всё-таки в состоянии пронаблюдать - это проявление деятельности этого таинственного источника. Даже если называть его конкретнее, как "высшая нервная деятельность головного мозга", суть остаётся такой же. Как утверждал крупнейший бихевиорист ХХ века, Б.Ф. Скиннер - несмотря на всю важность изучения нейрофизиологии, даже в наилучшем обозримом будущем она не сможет автоматически решить те вопросы, которые стоят именно перед наукой о поведении (психологией, как мы её сейчас традиционно называем, то есть).
Похожая ситуация, кстати, примерно как в биологии несколько веков назад исповедовали витализм - доктрину, что живые организмы отличаются от неживых присутствием в них какой-то чудодейственной "жизненной силы". Альтернативная медицина, впрочем, и сейчас частенько чем-то таким оперирует, китайского-индийского происхождения особенно.
Ну а бихевиоризм - исходит из того, что действительные причины поведения организмов всегда находятся в окружающей среде (текущей или ранней, исторической). То, что мы называем умом-сознанием - это уже поведение организма в ответ на стимульную среду, пусть и довольно "микро-масштабное", никому кроме самого субъекта незаметное (свою внутреннюю речь - "мышление", например, слышим только мы), но подчиняется тем же самым законам, что и поведение наблюдаемое.
Такое приватное скрытое поведение можно считать ранней или вспомогательной-сопутствующей фазой поведения внешне явного, большой роли это не играет, так как устроены они принципиально одинаково.
Что ожидаемо, ведь как давно замечают все выдающиеся психологи, никак себя к бихевиористам не относящие (например, советские Выготский, Леонтьев, Рубинштейн) - психика в основном формируется путём интериоризации, усвоения внешней деятельности в скрытую внутреннюю форму.
Бихевиоризм сейчас в широкие массы и обывателей, и психологов до сих пор заходит со скрипом, в силу своих "этически" не вполне удобоваримых следствий из вышеуказанного - как-то, отрицание мифической "свободы воли", житейских и религиозных понятий о нравственности и добродетели, и многое другое.
Поэтому на данный момент настоящее понимание и изучение науки и поведении - прерогатива "авангарда", если хотите; необязательно "элиты", но явно не основной массы учёных и практиков.
То, что когнитивно-поведенческая терапия быстро завоевала популярность среди психотерапевтов, статус "золотого стандарта" и самой доказательно-обоснованной модальности - это, с одной стороны, заслуга крепкой экспериментальной традиции бихевиоральной науки. С другой - совершенно необязательно быть бихевиористом, чтобы успешно применять эти методы; согласитесь, что врачу вообще необязательно глубоко разбираться в биохимии и происхождении назначаемых им препаратов, чтобы успешно ими лечить по показаниям.
И большинство современных специалистов в КПТ это подтверждают, почти ничего не понимая в бихевиоризме и теории научения, кроме скромного ряда общеизвестных терминов, парочки базовых законов и нескольких популярных фамилий. Более того, многие даже совсем не скрываясь относятся к поведенческой теории с заметным презрением, считая её примитивной и ограниченной, годной для работы с животными, но не со "сложными человеческими проблемами". Такое вот психоаналитическое перерождение.
Впрочем - примерно также дела обычно и обстоят с научными теориями, оспаривающими религиозные догмы, даже если эти догмы формально светские. Можем вспомнить Галилея и католическую церковь, Дарвина и вообще креационизм до сих пор. В наше время, правда, и религии уже не так влиятельны, и публика куда толерантнее и любознательнее, так что у бихевиоризма дела продвигаются куда лучше, чем у гелиоцентризма и селекционизма во времена своего соответственно возникновения.