Была ли депрессия у Ильи Обломова?

Частично, да, имеются.

Вначале о признаках депрессии:"... стойкое уныние и потеря интереса к тому, что обычно доставляет удовольствие, неспособность выполнять повседневные дела, сопровождаемая чувством вины, снижением самооценки, нарушением сна, аппетита, снижением концентрации внимания на протяжении 14 или более дней..."

А теперь к началу романа.

Неопрятный герой, неопрятное жилище, как один из признаков депрессии - сонливость...

Далее узнаём, что во время службы он отправил нужную бумагу вместо Астрахани в Архангельск. Испугался начальства и ушел в отставку под вымышленным предлогом: «Я, нижеподписавшийся, свидетельствую, с приложением своей печати, что коллежский секретарь Илья Обломов одержим отолщением сердца с расширением левого желудочка оного (Hypertrophia cordis cum dilatatione ejus ventriculi sinistri), а равно хроническою болью в печени (hetitis), угрожающею опасным развитием здоровью и жизни больного, каковые припадки происходят, как надо полагать, от ежедневного хождения в должность. Посему, в предотвращение повторения и усиления болезненных припадков, я считаю за нужное прекратить на время г. Обломову хождение на службу и вообще предписываю воздержание от умственного занятия и всякой деятельности».

Воспитание, полученное в Обломовке, депрессия, возникшая из чувства вины за шибку на службе - всё вместе взятое превратило Обломова в того, что сало именем нарицательным.