Добрый день!
Нет, не должны. Дело в том, что сведения о доходах проверяются за предыдущий период - 12 месяцев за 4 месяца до подачи заявления. Так что период увольнения в него не попадёт. Другой вопрос - на будущее. Пропуск даже одного месяца может быть расценен как основание для отказа, если будете подавать в следующий раз.
О некоторых нюансах этой выплаты смотрите нашу статью. Также мы подготовили материал по повышенной выплате.
Не должны... Это социальная выплата для оказания финансовой поддержки нуждающихся, поэтому смена места работы не должна влиять на выплату. Если же вы обратились в организацию, где трудился ваш супруг, то - да, скорее всего, вам откажут.