Здравствуйте!
В соответствии с п. 8 ПП РФ от 31 марта 2020 г. N 384 (в действующей на сегодня редакции), ежемесячная выплата устанавливается на 12 месяцев. Назначение ежемесячной выплаты в очередном году осуществляется по истечении 12 месяцев со дня предыдущего обращения.
Если исходить из буквального прочтения данной нормы, то получается, что назначение выплат на очередной год происходит по истечении 12 месяцев получения предыдущей выплаты. Вы пишете, что предыдущая истекла 01.06.2022, следовательно, за новой Вы не могли обратиться ранее 01.06.2022 г. Какого-то конкретного предельного срока "на переоформление" постановление Правительства не содержит. Может быть, что-то есть в региональных актах (уточните свой регион).
Каких-либо оснований "пропускать" июньскую выплату (поскольку повторное обращение подано в июне) не усматривается.
Простыми словами, да, должны выплатить за июнь.
О некоторых нюансах этой выплаты смотрите наш материал, о новых требованиях - ещё один.