Во всей полноте понять, что имел в виду Хайдеггер можно только прочитав "Бытие и время". Поскольку работа написана в иной (бытийной) парадигме, то и увидеть и понять ее можно только погрузившись в нее. Тем не менее есть множество источников, где дана та или иная интерпретация основного термина "Бытия и времени", то есть ответ на поставленный Вами вопрос.
Например в Сети есть статья Анатолия Ахутина (это один из переводчиков М. Хайдеггера) "Dasein". Есть его же лекция выложенная в Сеть под названием "Письмо о гуманизме". Там он по сути отвечает на этот же вопрос.
Вот ответ на Ваш вопрос от А.Г. Чернякова переводчика "Основных проблем феноменологии" М.Хайдеггера (стр. 4):
"В тех случаях, когда слово Dasein используется как terminus technicus, мы чаще всего оставляем его без перевода. Когда же, по нашему мнению, это слово не употребляется строго терминологически, но сохраняет связь с таким, техническим, употреблением или на него намекает, мы передаем его при помощи искусственного, но ставшего уже привычным, выражения «вот бытие», имитирующего морфологию немецкого слова. Термин «вот бытие» используется нами и в других случаях, на которые уместно указать уже теперь. Одна из основных тем данного курса лекций — различие бытия и сущего, онтологическая дифференция. Хайдеггер определяет Dasein как особое сущее, а его бытие называет экзистенцией (ср. Бытие и время, § 4 и § 9). Тем не менее, в некоторых контекстах, говоря «Dasein», Хайдеггер, на наш взгляд, имеет в виду скорее бытие, экзистенцию, а не сущее, которому такое бытие присуще. В этих случаях также появляется необходимость передавать Dasein как «вот бытие». Эта кажущаяся неаккуратность имеет свои основания и может быть отчасти оправдана. Дело в том, что «сущность» или «что бытие» Dasein заключается в его существовании или «как бытии» (Бытие и время, § 9). Поэтому различение экзистирующего и экзистенции нельзя положить как различие «сущности» и «существования». Несмотря на это обстоятельство, вопрос об онтологической дифференции для Dasein все же может быть поставлен. Очевидно, этот вопрос есть не что иное, как вопрос о «кто» («ктойности», «самости») вот бытия в отличие от экзистенции как таковой (Бытие и время, § 25, § 64)"
Что касается соотнесения с присутствием в моменте или осознаностью, то на это можно сказать и "да" и "нет" одновременно. Разумеется какие-то параллели можно проводить и пытаться увидеть это в дазайн. Но надо понимать, что "Бытие и время" содержит аналитику дазайн, что предполагает некую систему. Чтобы увидеть гениальность Хайдеггера и его работы "Бытие и время" увидеть структуры бытия, нужно в эту работу погрузиться. С наскока она не дается. Если очень кратко, то Дазайн, это я сам, понятый в первую очередь как возможность, как способ бытия, как единство меня и мира, как место бытия, как сама открытость, как временность ( в смысле единства трех измерений в моменте).