После того, как Римская республика стала фактической империей, каким стало официальное её название? Как её называли граждане Рима?

Ответ на вопрос, что называется Очевидный, но невероятный, и я бы сказал: общеизвестный!
При Императорах Рим оставался Республикой, никто ничего не поменял в названии, в документах, на памятниках!
Тут возможны два толкования, одно историческое: император - это главнокомандующий, избираемый солдатами на время войны или похода, при котором власть у Сената оставалась такой же
Второй, правовой: не смотря на условное научное разделение форм правления, монархия и Республика, например понятие демократия может относится, как к монархии, так и к республике, в современном понимании названий.
Что касается самого термина император, то оно значит на латыни буквально - Володей, от латинского imperium - володение, владение.