После того, как Римская республика стала фактической империей, каким стало официальное её название? Как её называли граждане Рима?

Тут надо учитывать, что слово "республика" во времена Рима не означало формы правления, а использовалось в буквальном значении - "общее дело" (в смысле дело всего римского общества). Это понятие ввели, чтобы отделить новую эпоху от предыдущей, когда Римом правили цари. А свое государство они называли просто Римом (Roma), либо "нашим Римом" (res Romana). Римские историки уже имперского периода в своих сочинениях использовали слово "империя", но не как часть официального названия, а просто для обозначения территории своей державы. Для того, чтобы отличить Рим как столицу от Рима как всего государства, первый именовали Городом (Urbis). Наличие императора или принцепса с точки зрения римлян никак не влияло на восприятие государства как "нашего Рима".