Не буду сильно усложнять ответ и приводить определения культурного наследия и архива (хотя это было бы полезно). Отвечу просто: смотря какой архив.
Всё-таки архивы бывают федеральные, ведомственные, республиканские, краевые, областные, муниципальные, отделы рукописей, частные и даже электронные. Надо смотреть, что собой представляет конкретный архив с содержательной, архитектурной, исторической точки зрения. Условно я бы отнесла к историко-культурным объектам как минимум федеральные архивы. Дальше надо рассматривать конкретные случаи.
Скажем, Архивный городок в Москве — для меня однозначно объект культурного наследия. Мне бы очень хотелось, чтобы отношение к нему государства, исследователей, «простых смертных» было другим, но это только мои эмоции.