Давайте в рамках ответа на этот вопрос будем считать, что дипломатия – это международные отношения и то, какими процедурами/ритуалами они оформляются/сопровождаются. Сюда же стоит отнести и вопрос о том, за кем внутри Римского государства остается последнее слово при принятии решений о международной политике. Последнее зависело от того, что за политическая система существовала в тот момент в Риме (Царский, Республиканский или Императорский Рим).
Античный автор Тит Ливий в "Истории от основании города" фактически сообщает нам, что история Рима началась с успешных дипломатических переговоров: прибыв в Италию, Эней, беженец из Трои, заключил договор о дружбе с Латином, местным царем, причем этот союз был скреплен еще и браком между Энеем и дочерью Латина ("После этого вожди заключили союз, а войска обменялись приветствиями. Эней стал гостем Латина, и тут Латин пред богами-пенатами скрепил союз меж народами союзом между домами — выдал дочь за Энея"). Информация, которую сообщает Тит Ливий, отвечает и на поставленные нами вопросы: принимали решения, касающиеся международных отношений, вожди, скрепление союза сопровождалось ритуалом, который, видимо, добавлял этому действию легальности и, если угодно, сакральности. Все это, вероятно, было характерно для самой ранней истории Рима (если так можно сказать, до создания самого Рима).
Впоследствии Рим распространил свое влияние сначала на Лаций, а потом и на всю Италию. Обоснованием этого влияния были заключенные договоры (часто по результатам военных действий), причем дружественные отношения описывались не как отношения равных, а как отношения, в которых Рим занимал главенствующую позицию. Впрочем, другие отношения складывались у Рима с Карфагеном, так как Карфаген был куда более сильным государством и диктовал в их торговых отношениях свою волю.
Наверно, особенный интерес представляют взаимоотношения Греции и Рима (республиканский Рим). Здесь римляне действовали, комбинируя военные кампании, в том числе и очень жестокие (например, уничтожение Коринфа в 146 г. до н.э.) и дипломатические договоренности.
К дипломатическим отношениям можно отнести и процесс включения разных территорий в Римскую империю и условия этого включения. Например, Иудея после завоевания Гнеем Помпеем в 63 г. до н.э. сохраняла некоторую самостоятельность, более того, царь Ирод Великий в 40 г. до н.э. получил титул царя Иудеи. Эта самостоятельность была ликвидирована при его сыне, Архелае. Как пишет античный автор Иосиф Флавий, по воцарении Архелая вспыхнул бунт, обвинения против него были высланы и императору, в итоге Архелай был вызван в Рим, а область, некогда подчиненная Архелаю, была включена в состав провинции Сирия (в этот момент появляется и всем нам знакомая должность прокуратора Иудеи). Интересно, что императоры Август и Тиберий считали, что не следует наносить иудеям оскорбления, связанные с их религией и убеждениями: например, изображения людей были кощунством по иудейским обычаям. И, вероятно, в Риме были готовы ограничить обязательный культ императора в Иудее. При этом тот самый прокуратор Иудеи Понтий Пилат не считался с местными обычаями и спровоцировал несколько конфликтов, внеся в Иерусалим изображения императора. Такое поведение Пилата привело к тому, что его сместили с должности прокуратора.
Международные отношения оказали влияние и на язык Римского государства, латынь. Например, мир – латинское pax – обозначает не только "мир" как "отсутствие войны", но что-то, о чем можно договориться на определенных условиях. По мере развития римского влияния слово pax стало обозначать римское господство: Pax Romana или Augusta, если мы говорим о Римской империи. В договорах центральное место часто занимала fides Romana, то есть "честь, верность Рима". В это понятие вкладывалось то значение, что Рим в своих поступках был постоянен и последователен, ему можно было доверять и, соответственно, с ним можно вести дела.
Специалисты по римскому праву могли бы также добавить пару слов о jus gentium, буквально "праве народов", я лишь могу добавить пункт в список литературы:
Люба, большое спасибо за столь содержательный ответ!)