Самая древняя находка домашнего животного -- это череп собаки из Разбойничьей пещеры на Алтае, ее возраст около 33 тыс. лет (есть также сведения о находке примерно того же возраста из пещеры в Бельгии). Считается, что начиная с палеолита было несколько эпизодов доместикации собаки независимо в разных регионах и в разное время.
Но вообще процесс одомашнивания связан в первую очередь с переходом от эпохи плейстоцена к голоцену, когда заканчивается ледниковый период, происходят глобальные изменения климата, исчезают старые и возникают новые ландшафты, соответственно, меняется фауна. И поскольку основой жизнеобеспечения людей была охота на животных, происходят кардинальные изменения в типе хозяйствования. Сокращение или исчезновение привычного для охоты и употребления в пищу вида приводит людей к необходимости делать запасы мяса, в том числе и живого. В южных, более равнинных районах с открытыми ландшафтами производящее хозяйство появляется раньше среди прочего еще и потому, что численность степных видов животных была более подвержена колебаниям. В то время как лесные виды более стабильны и доместикация животных (кроме собаки) в таежных регионах не происходит, поскольку люди по прежнему могут прокормить себя охотой, собирательством и рыболовством.
Кроме кризиса охотничьего хозяйства на процесс доместикации влияло наличие или отсутствие в видов, склонных к доместикации, поскольку не каждое животное может стать домашним.
Технически наиболее вероятный вариант приручения, а затем одомашнивания животного (одомашнивание подразумевает ряд морфологических, физиологических и поведенческих изменений, в то время как приручение -- привычка не бояться человека) это выращивание детенышей убитого на охоте животного или впоследствии, возможно, специально отловленных для этой цели.