Как должна была бы вращаться вокруг Земли Луна, чтобы одна ее половина никогда не освещалась Солнцем?

Луна для этого должна находиться в приливном захвате с Солнцем, а не с Землёй. Это подразумевает, что солнечные приливы на Луне должны были бы быть выше, нежели те, которые вызывает на Луне Земля. На практике это подразумевает настолько большое расстояние между Землёй и Луной, что, даже при одинаковом периоде обращения вокруг Солнца, не будет казаться, что Луна вращается вокруг Земли - получится, что она и Земля просто движутся вокруг Солнца по одной или похожей орбите. 

Например, поместим Луну в точку Лагранжа в системе Солнце - Земля. Формально вполне можно будет  вычислить срок оборота Луны вокруг Земли: он будет равен году - Луна точно так же за год будет обходить на небе весь зодиакальный круг, как и Солнце, то есть будет "вращаться вокруг Земли". Если при этом она будет находиться в приливном захвате с Солнцем, то описанные условия - половина Луны никогда не освещается - выполняются.