Может ли max∅ = -∞?
В учебнике на 1-ом фото написано, что да. На 2-ом фото должно быть объяснение. Но там написано не про max∅ = -∞, а про sup∅ = -∞. Лично я не особо понимаю, как max∅ = -∞, ведь по определению максимальный элемент числового множества это верхняя граница числового множества, принадлежащая самому этому множеству. Но как что-то может принадлежать пустому множеству?
Несколько вопросов, возникших, по ходу написания этого вопроса:
1) На 2-ом фото в примере 66 даётся определение ограниченного сверху множества, но раньше я видел только такое определение: ∃M: ∀x∈A x<=M. Какое из них предпочтительнее использовать? И импликация в 1-ом определении нужна лишь только для того, чтобы показать, что пустое множество входит в множество ограниченных множеств? Или для чего-то ещё?
2) В чем суть данного выражения, причём тут эпсилон?(выражение подчёркнуто синим на 2-ом фото)
P.S. Пожалуйста не ругайте учебник(если вам захотелось это сделать). Да, в нём иногда бывают неточности, непонятные моменты, но в основном материал изложен очень подробно.
"максимальный элемент числового множества это верхняя граница числового множества, принадлежащая самому этому множеству" - в данном случае (в данном учебнике), насколько я понимаю, max∅ означает не "максимальный элемент", а "точную верхнюю границу".
Точная верхняя граница не обязательно принадлежит множеству. Поскольку множество имеется в виду числовое, а в нём нет ни одного элемента, который был бы больше -∞, это как бы его точная верхняя граница (как "наименьшее число").
Точно так же его точная нижняя граница - +∞
.....
Импликация в данном случае (в данном учебнике, но не для Вас) "ничего не меняет", определение остаётся тем же самым: "для всякого Х, принадлежащего М" = "если Х принадлежит М, то".
.....
Эпсилон - это "любая, сколь угодно малая окрестность" (вернее, определяющее её число). То есть, как бы ни было мало эпсилон, в этой окрестности найдутся ещё элементы множества. Но все они не больше супремума (точной верхней границы).
Так что я солидарен с Вашим "непониманием": если определять супремум по обязательности обоих условий, указанных в учебнике, у пустого множества его нет.
Автор учебника, судя по тексту, и не утверждает, что он есть. Он просто сообщает, что иногда "так пишут": sup∅ = -∞
Это вообще не равенство, строго говоря. И -∞ не может быть "границей". Это просто "шифр". Однако, затем автор опирается на эту запись (уже в форме max∅ = -∞) как на "истинное высказывание". Вероятно, в своём уме он удерживает понимание зашифрованного, но в тексте этого нет.
Никого не ругаю. Просто логическая ошибка. Не слишком существенная, бывает хуже (в учебниках, да).
Эта ошибка несущественна, поскольку можно определить супремум таким образом, что sup∅ = -∞ и вправду станет истинным высказыванием. В том случае, разумеется, если мы будем считать -∞ действительным числом.