Может ли max∅ = -∞?
В учебнике на 1-ом фото написано, что да. На 2-ом фото должно быть объяснение. Но там написано не про max∅ = -∞, а про sup∅ = -∞. Лично я не особо понимаю, как max∅ = -∞, ведь по определению максимальный элемент числового множества это верхняя граница числового множества, принадлежащая самому этому множеству. Но как что-то может принадлежать пустому множеству?
Несколько вопросов, возникших, по ходу написания этого вопроса:
1) На 2-ом фото в примере 66 даётся определение ограниченного сверху множества, но раньше я видел только такое определение: ∃M: ∀x∈A x<=M. Какое из них предпочтительнее использовать? И импликация в 1-ом определении нужна лишь только для того, чтобы показать, что пустое множество входит в множество ограниченных множеств? Или для чего-то ещё?
2) В чем суть данного выражения, причём тут эпсилон?(выражение подчёркнуто синим на 2-ом фото)
P.S. Пожалуйста не ругайте учебник(если вам захотелось это сделать). Да, в нём иногда бывают неточности, непонятные моменты, но в основном материал изложен очень подробно.
Бесконечность -- не число, бесконечность не может принадлежать числовому множеству. Если где-то в тексте употребляется бесконечность или знак ∞, который обычно читается "бесконечность", должно быть объяснено, что имеется в виду.
Запись max∅ = -∞ не означает, что число -∞ -- максимальный элемент ∅. -∞ -- вообще не число. Эта запись означает, что максимального элемента не существует. Числа -∞ не существует, это не элемент числового множества.
Определением можно пользоваться любым, каким удобно.
А по синей записи -- неясно, что такое М_эпсилон, видимо, это сказано на предыдущей странице.