У меня глубокий прикус. Был у ортодонта, он сказал, что выпрямлять зубы не станет, так как потом нижние зубы выйдут за верхние.

Это вы посещали ортодонта, который далек от ортодонтии. Какой стаж у врача? Какими системами он работает? Есть ли у врача объем пациентов? В какой клинике он работает?
Работать можно с любым вариантом неправильного прикуса. Вам помочь можно!
Идеально - это осмотр и диагностическое обследование.
Сложно давать советы не оценивая визуальную картину.
Обратитесь к более опытному ортодонту.