Подать в суд может, но выиграть скорее всего нет. Итак по порядку:
Во-первых, даже если вы не заключали письменный договор, подписанный с двух сторон, это не значит, что договора нет совсем. Частью 2 статьи 434, статьей 160 Гражданского кодекса РФ закреплена возможность заключить договор путем обмена электронными документами, передаваемыми по каналам связи. К таким каналам связи относятся в том числе и мессенджеры.
Исходя из вашего вопроса у вас с заказчиком фактически сложились договорные отношения по возмездному оказанию услуг (есть судебная практика, которая говорит, что создание сайта – это выполнение работы, а не оказание услуг, но на последствия по вашему вопросу это сильно не влияет). Заключение такого договора подтверждается перепиской в мессенджере.
В суде надо будет подтвердить и заверить электронную переписку. Это можно сделать тремя способами: обратиться к нотариусу, провайдеру услуг связи, эксперту. Расходы на подтверждение электронной переписки можно будет возложить на проигравшую сторону.
Во-вторых, для чего нужно во-первых? Подтвердили, что между вами и заказчиком заключен договор возмездного оказания услуг, а полученные 5000 рублей – это аванс за услугу, а не неосновательное обогащение.
Далее статья 782 ГК РФ предоставляет заказчику по договору возмездного оказания услуг право в любой момент отказаться от этого договора. При этом заказчик обязан оплатить исполнителю все расходы, которые тот уже понес на момент расторжения договора. Имеется судебная практика (Постановление Арбитражного суда Западно-Сибирского округа от 15.02.2019 по делу № А27-25799/2017), согласно которой суды разрешают исполнителю удерживать и не возвращать заказчику аванс, полученный при заключении договора. Но это сработает только при условии, что сумма аванса равна или меньше расходов, которые исполнитель фактически осуществил до того, как получил от заказчика сообщение об отказе от договора. Вам как исполнителю нужно будет доказать, что до момента отказа вы уже оказали часть услуг, либо оплатил какие-то необходимые для этого подготовительные операции. В таком случае вас не обяжут возвращать аванс. Здесь вам также поможет переписка, где заказчик фактически подтверждает, что услуга оказана, а также любые доказательства, того что вы сделали и как вы это демонстрировали заказчику.
И последнее, учитывая сложности, описанные выше, вряд ли кто-то станет судиться из-за 5 тысяч рублей (если, конечно, вы написали действительную сумму).