Равномерная непрерывность и ее приложения, зачем и где она используется?
На первом курсе определили равномерную непрерывность, но не понимаю, зачем и где она используется. Можно привести примеры прикладных задач, связанных с равномерной непрерывностью?
МатематикаДомашние задания+1
Равномерная непрерывность
Теорема о равномерной непрерывности (Кантора — Гейне): функция, непрерывная на замкнутом конечном промежутке (или на любом компакте), равномерно непрерывна на нём. При этом, если замкнутый конечный промежуток заменить на открытый, функция может не оказаться равномерно непрерывной.
Функция f(x) = 1/x не будет на [0,1] равномерно непрерывна из-за разрыва второго рода в 0
Для пункта (1) f(x) = x^2 не будет равномерно непрерывна на [0, +infinity)
Дополнено по сделанному замечанию - примеры использующие это свойство
Если в задаче 14 потребовать дифференцирумость , то равномерная непрерывность даст ограниченность для abs(df(x)/dx).
В целом Я рекомендую посмотреть методичку ФизТеха
в ней отличные задачи, которые отвечают именно на Ваш вопрос.
вопрос не в том, что такое равномерная непрерывность, а в том, что нам дает знание того, что функция равномерно непрерывна
Спасибо за интересный вопрос!
Если функция равномерно непрерывна на интервале (a,b), то её можно продолжить по непрерывности на [a,b], причём единственным образом.
Например, функция f(x)=x*sin(1/x²) является равномерно... Читать далее
Это надо прочувствовать определение, когда в области определения непрерывная функция меняется несильно, с ограниченной производной,
например, −1 ≤ sin x ≤ 1 ∀ x ∈ ℝ (−∞ < x < ∞).
Помимо прикладных задач, связанных с равномерной непрерывностью, существует важная область топологии - равномерные пространства. Каждое такое пространство является топологическим, но не обратно. Равномерные пространства -... Читать далее
Вот использование равномерной непрерывности для функции одной переменной как-то так сразу и не вспоминается. Но зато в функциях многих переменных равномерная сходимость (очень близкое понятие) используется для обоснования... Читать далее
1 эксперт согласен
Михаил Мулюков
4 нояб 2021подтверждает
В качестве примера можно привести задачу из книги В.Босса "Анализ":
Определим функцию z=f(x,y) следующим образом:... Читать дальше