Равномерная непрерывность и ее приложения, зачем и где она используется?

Спасибо за интересный вопрос!

Если функция равномерно непрерывна на интервале (a,b), то её можно продолжить по непрерывности на [a,b], причём единственным образом.

Например, функция f(x)=x*sin(1/x²) является равномерно непрерывной на интервале (0,1), поэтому можно положить f(0)=0. А функцию g(x)=sin(1/x) в нуле нельзя определить по непрерывности, потому что функция непрерывна на (0,1), но не равномерно.

Кроме того, для равномерно непрерывной функции можно задать обобщённую частную производную в точках границы, где понятие частной производной не определено.

В книге "Курс математического анализа. I" С.М. Никольского можно найти следующий пример. Рассмотрим функцию z=f(x,y), определённую на замыкании круга x²+y²⩽1. В точке (0,1) частная производная f'ₓ не определена, потому что в направлении оси x функция определена в единственной точке. Однако, если f'ₓ равномерно непрерывна на области определения, то f'ₓ(0,1) можно однозначно определить по непрерывности.