Интересующие темы: история математики, история хри... · 30 сент 2021
Классическое определение числа Пи -- отношение длины окружности к её диаметру. Только вот, исторически число "Пи" как именно таковой математический объект появилось сравнительно недавно -- в 1706 в трудах Уильяма Джонса и в 1736 в работах Леонарда Эйлера. До этого времени лишь описательно говорилось о такого рода отношении, не обозначаемом специальной константой.
Вычисляли по-разному и разными инструментами.
Фундаментальный подход (хотя, на самом деле, прикладной):
а) Либо считали Пи как среднее между отношением периметра описанного многоугольника к диаметру и отношением вписанного многоугольника к диаметру (эдакое "протоинтегрирование"). Т.е., вписываете правильный n-угольник, описываете правильный n-угольник, а длина окружности где-то между ними. Все рациональные приближения дробями "сверху" и "снизу", на самом деле, сводятся именно к этом задаче: к геометрическому приближению описанными и вписанными многоугольниками.
б) Либо находили это значение как обратную задачу от приближенного решения задачи квадратуры круга (точного решения не может в принципе существовать при наличии каких угодно инструментов; есть приближенные решения разной степени точности при помощи циркуля - линейки, циркуля-линейки - транспортира, циркуля - линейки - циссоиды, циркуля - линейки - конхоиды, циркуля - линейки - конхоиды - циссоиды, циркуля - линейки - конических сечений и т.д.)
Прикладной "повседневный", "бытовой" и "производственный" подход:
а) Либо брали бечевку, опоясывали ей цилиндр, а потом делили длину бечевки на диаметр цилиндра. Диаметр цилиндра замерить относительно просто штангенциркулем или подобными приборами.
б) Альтернативный способ подсчета: площадь окружности единичного радиуса равна, как раз, π. Можно начертить окружность с радиусом, принятым за единичный, а потом покрыть круг внутри окружности монетками или зернышками, затем посчитать их количество и умножить на площадь каждого.
в) Вариант способа 2б: закрасить такой круг и посчитать приблизительно по расходу краски.
Вот какими-то такими приёмами и пользовались. Часто вопрос возникал в контексте нахождения приближенных решений задачи Квадратуры Круга. Задача Квадратуры Круга не имеет и не может иметь точного решения, даже если к циркулю и линейке добавить какие угодно дополнительные инструменты. Эту задачу можно решить только приближенно с разной степенью точности.
Трудность числа "пи" заключается в том, что в начертательной геометрии в принципе невозможно практическое построение линейного объекта меры (т.е. длины) "пи". Но возможно построить двумерный объект площадью "пи" (круг внутри окружности единичного радиуса). Это отличает число "пи" от алгебраических иррациональных чисел -- например от sqrt(2) или cbrt(2) , построение которых возможно (первого -- только циркулем и линейкой, второе -- циркулем, линейкой и доп. инструментами (например, циссоида, транспортир и невсис). Наглядная демонстрация отличия трансцендентных чисел от алгебраических иррациональных.
@Андрей Бахматов, так, возможно я чего-то не понимаю и делаю ошибки, но вот ход моих рассуждений. Только циркулем и линейкой, разумеется, нет и у меня особо и специально оговорено :
" (первого -- только циркулем и линейкой, второе -- циркулем, линейкой и доп. инструментами (например, циссоида, транспортир и невсис)."
Задача удвоения куба имеет точное решение на построение при использовании невсиса. Никомед свою конхоиду предложил именно в контексте решения задачи удвоения куба. А задачи удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника сводятся, в конечном итоге, к задаче нахождения кубического корня.
Кубические корни нельзя отложить только циркулем и линейкой, но можно при наличии циркуля, линейки и ещё чего-нибудь. Например, невсиса, транспортира, конхоиды и циссоиды. Именно на "механизации" невсисов и основан принцип работы мезолябии Эратосфена, позволявшей извлекать кубические корни.
Вообще любой действительный (по значению) корень любой степени можно отложить по ломанной Лилля, но здесь, опять же, только циркуля и линейки недостаточно: дополнительно нужны невсис, градуированная линейка, транспортир и прочие инструменты (как завещал Биркгоф). Правда, это будет геометрическое решение, а не решение в радикалах (которое, как мы помним, для степеней выше 4 в общем случае невозможно). Число "Пи" же никуда отложить никак нельзя: никакой дополнительный инструмент здесь не поможет, и, очевидно, ломанная Лилля также не поможет, так как Пи не является алгебраическим, а ломанная Лилля у нас годится только для нахождения действительных корней полинома.
Я правда, допустил ошибку, написав про "линейный объект" вообще. Половинку unit circle построить, таки, можно, и её длина будет как раз π . А вот "прямой" отрезок -- нельзя. Ну и круг площадью π тоже возможен для простого построения (тот же самый unit circle).
@николай тюрин, да много где. Микробиологам, астрономам, физикам-ядерщикам и т.д. Для совсем сверхточных вычислений 80 знаков достаточно в 90% задач. 100 знаков закрывают 100 процентов любых известных на данный момент задач в любой области. Может, появится дополнительное требование к точности.
Даже "завидно". с "умными и наученными" сложно. но.у меня три диплома и,я "нашёл себя" когда засунул их на "чердак"...интересно..учить, вроде как быть и как мышь в заперти,бежишь и бежишь от себя. ... .я наконец понял что,я ничего НЕ МОГУ ЗНАТЬ,УМЕТЬ И всё что-то ещё, катастрофа!-ан - нет это просто -я. и весь опыт и знания -ничто . я только-только открываю всё то, что кто-то(или я сам когда-нибудь как),спрятал на дне,где-верх это низ, свет-темнее чем тьма и выволочка Себя из того,как вообще никак никогда даже не хочется вешать ярлык, да и слова ограничены тем,что бы пользовать(ся)..себя ч уже,никому не отдам! без комментов. счастливого пути! и если кто-то из людей,посчитал меня мудаком-хвалю его! из уст человека,ничего лучше ч и не мог бы услышать... .
Лучше всего через арктангенс, разложив его в ряд Тэйлора:
arctg x = x - x³/3 + x⁵/5 - ∙∙∙ + (-1)ⁿ⁺¹ x²ⁿ⁺¹ /(2n+1) + ∙∙∙; n ∈ ℕ; при x=1 ⇒ arctg 1=π/4=∑(-1) ⁱ ⁺¹ /(2i+1); i от 1 до n ∈ ℕ; ∴ π=4(∑(-1) ⁱ ⁺¹ /(2i+1)); i от 1 до n ∈... Читать далее
Лучше всего через арктангенс, разложив его в ряд Тэйлора:
arctg x = x - x³/3 + x⁵/5 - ∙∙∙ + (-1)ⁿ⁺¹ x²ⁿ⁺¹ /(2n+1) + ∙∙∙; n ∈ ℕ;
при x = 1 ⇒ arctg 1 = π/4 = ∑(-1) ⁱ ⁺¹ /(2i+1); i от 1 до n ∈ ℕ;
∴ π = 4 (∑(-1) ⁱ ⁺¹ /(2i+1)); i от... Читать далее
Инженер путей сообщения – строитель · 29 сент 2021
Например можно так посчитать. Мы точно знаем, что арксинус единицы равен π / 2. Раскладываем арксинус в ряд Тейлора, подставляем туда единицу и полученный результат умножаем на два. Число π у нас в кармане.
Расскажу про очень необычный способ определения числа π, о котором мало кто знает. Французский естествоиспытатель 18 века Бюффон провёл на большом листе бумаги параллельные равноотстоящие прямые линии и стал бросать на него... Читать далее
Для вычислений использовали метод вписанных и описанных правильных многоугольников. Вписывали окружность в квадрат, описывали вокруг неё квадрат, затем вычисляли периметр обоих квадратов и считали этот периметр приближением длины. Конечно, с квадратом приближение получалось очень неточным, но зато его точность была видна по разнице между периметром описанного и вписанного. Далее число граней многоугольника увеличивали и таким образом увеличивали точность приближения для значения числа пи.
С древних времён число пи получали, вписывая и описывая в окружность правильные многоугольники. Например, вписав в окружность правильный шестиугольник, можно понять, что пи больше 3. А описав квадрат - понять, что оно меньше четырёх. Так же можно повторять с правильными многоугольниками с большим числом сторон, точность будет возрастать с ростом числа сторон. Так, например, Клавдий Птолемей получил приближение 377/120 = 3,141(6) (первые цифры числа пи - 3,14159265), посчитав периметр вписанного 720-угольника.
Но с развитием математического анализа, в частности, теории рядов, появились наиболее эффективные методы вычисления числа пи: его представляли как ряд, оставалось только найти достаточно быстросходящийся ряд и посчитать сумму нужного числа членов. Например, из равенства
pi/4 = arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3)
И разложения арктангенса в ряд Тейлора получается ряд, слагаемые в котором убывают довольно быстро(примерно как 1/(k*2^k) и 1/(k*3^k)), по сравнению с рядами, известными ранее, а значит, можно получить довольно точное значение пи, сложив не так много чисел.
С развитием компьютеров, стали полезны более сложные, но более точные алгоритмы получения этой константы. Один из таких, алгоритм Чудновского, использует вот такую формулу:
Считать даже несколько слагаемое этого ряда руками безумно долго, но благодаря компьютерам этот алгоритм помог побить рекорд вычисления знаков числа пи после запятой: было получено более триллиона знаков после запятой.
Благодаря суперкомпьютерам и распределённым вычислениям, стали популярны алгоритмы получения конкретной цифры числа в двоичной, шестнадцатеричной или какй-либо ещё записи. например, формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа:
С помощью неё проект PiHex выяснил, что квадриллионный бит числа пи - ноль.
Кроме того, есть алгоритм Брента — Саламина, который, изменяя некоторые четыре числа по заданному алгоритму, позволяет удваивать число известных знаков числа пи за каждую итерацию.
В реальности вычисление числа пи с такой точностью - скорее развлечение, проверка алгоритмов и компьютеров. Даже НАСА в своих вычислениях использует не больше 15 знаков числа пи после запятой.
В Википедии хорошо написано - изначально считали как предел периметра вписанных/описанных правильных многоугольников, причем выбором правильной последовательности многоугольников получаются неплохо сходящиеся ряды, потом из тригонометрических тождеств опять же через разложение в ряд Тейлора. https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)
Перейти на vk.com/id1272815
