На практике обычно просто постепенно исключаете переменные методом гаусса (как учили в школе).
При этом в процессе возможны варианты, что на очередной итерации вы получите:
- для какого-то уравнения выражение вида "константа = константе", тогда
-- если выражение верно, то данное уравнение просто линейно выражается через предыдущие, и не даёт дополнительной информации, т.е. может быть отброшено. (по сути ранг системы меньше числа уравнений)
-- если выражение ложно (например в системе x+y=5 и 2x+2y=11, исключаяя икс из второго исключается и игрек и получится 10=11 ), значит система не имеет решения.
- дойдя в исключении переменных до конца вы получите одно уравнение.
если уравнение содержит одну переменную, то вы знаете её значение. если переменных несколько, то вы можете произвольно задать значения всех переменных кроме одной, которую высчитаете аналитически (на практике если у вас в последнем уравнении используются 3 переменные, вы полагаете две из них равными нулю, так как обычно проще считать.)
полученные переменные подставляете во все предыдущие уравнения, и повторяете действия с предпоследним уравнением, которое, вообще говоря, также может оказаться зависимым более чем от одной переменной.
и так до конца обратного прохода вы в итоге получите одной из частных решений.
С другой стороны
Можно найти (некоторый) ненулевой минор максимального порядка в матрице (минор размера ранга матрицы). тогда для переменных, столбцы соответствующие которым не входят найденный вами минор, указать произвольные значения (например нули), если решение исходной системы и существует, то для новой будет существовать единственное, если для исходной не существует, то и для новой оно не будет существовать.
На практике поиск минора максимального порядка задача достаточно сложная, и проще изначально решать обычным гауссом исходную систему, но иногда столбцы могут иметь такую структуру, что выбрать подсистему линейно независимых столбцов можно быстро, и тогда действительно проще сразу исключить "лишние переменные" в самом начале. что-то типо системы
51x1+75x2+x3=1
73x1+32x2+x4=2
12x1+21x2+x5=3
тут сразу видно, что три последние столбца линейно независимы с прекрасными коэффициентами (значит x1,x2 можно положить произвольными, например нулями), и легко можно устно получить одно из частных решений: (0,0,1,2,3). при попытке же последовательно исключать x1 цифры будут получаться не очень приятные :-)