Много интересного написано у Thomas Heath в работе History of Ancient Greek Mathematics, а также у John Stillwell в Mathematics and Its History и Elements of Mathematics: From Euclid to Godel -- весьма рекомендую эти работы.
Пифагорейцы изобрели три средних значения.
- Среднее арифметическое.
- Среднее геометрическое.
- Среднее гармоническое.
- Среднее арифметическое (AM) — это сумма всех чисел, поделенная на их количество.
AM (a1, a2, a3, ..., an) = (a1 + a2 + a3 +...+ an) / n
- Среднее геометрическое (GM) — n-й корень из произведения n чисел (квадратный корень из произведения двух чисел, кубический корень из произведения трёх чисел и т.д.)
GM (a1,a2) = sqrt (a1*a2)
GM (a1,a2,a3) = cbrt (a1 * a2 * a3)
GM (a1,a2,a3,...,an) = (a1 * a2 *a3 * ... *an)^(1/n) для n > 0 и каждого a > 0, где n — количество членов
- Среднее гармоническое (HM) — делитель H к делимому количества чисел n, где частное равно сумме обратных значений этих чисел. Т.е.:
n/H = (1/a1) + (1/a2) + ... + (1/an)
Или же частное количества всех чисел на сумму их обратных значений:
H = n/((1/a1) + (1/a2) + ... + (1/an))
При этом, среднее геометрическое никогда не применялось более чем к трем членам.
Самое интересное, что впервые все три средних появлялись в музыковедческих трактатах, имевших для пифагорейцев космологическое значение: Пифагор учил о "небесной музыке" и "гармонии небесных сфер" и, соответственно, задача темперирования инструментов, их конструкции и техническое решение способов звукоизвлечения являлись элементами построения космологической модели, обобщающей геодезию, картографию, навигацию, геометрию и архитектуру, строго не разделяемых пифагорейцами на особые дисциплины. "Дисциплинарный монизм", однако, был не вполне эффективным, хотя бы, с мнемонической точки зрения, но был строго обусловлен господствующей социокультурой, системой социальных отношений и рядом других факторов, включая психологические.
В частности, комментарии Архита Тарентского дошли до нас во фрагментах в "Гармонике" Птолемея, в комментариях Порфирия Тирского на "Гармонику", в "Арифметике" Никомаха и "Музыке" Боэция.
Прелесть трёх пифагоровых средних в том, что все они решаются построением с использованием циркуля, градуированного наугольника, транспортира, невсиса и квадратной и кубической мезолябий (для среднего геометрического).
Эти средние не учитывали ситуации неодинакового вклада усредняемых величин (т.е. не использовалось среднее взвешенное), также не проводилось строгого различия между понятиями "среднего" и "пропорции" (это была единая абстракция).
Пифагоровы средние использовались, преимущественно, в теории музыки и пифагорейской космологии.
Также одним из первых стал учить о четных и нечетных числах, простых и составных
Пифагорейцы Никомах Геразский и Теон Смирнский записали в своих учебниках учение о фигурных числах -- то есть таких, которые можно представить в виде плоских многоугольников или пространственных многогранников. Типичный пример таких чисел -- последовательность треугольных чисел:
Центрированные треугольные числа:
Двенадцатиугольные числа:
И т.д. Учебники Никомаха Геразского и Теона Смирнского представляли из себя письменную запись устной пифагорейской традиции.
Ну и ещё, конечно, исопсефия -- особые числовые соответствия. Т.е., биективное соответствие букв греческого алфавита числовым значениям. Т.е., фактически, пифагор изобрел саму греческую непозиционную систему счисления как таковую. Точнее, идея использовать алфавит в качестве ординалов приходит как бы сама, но числа ординалами не ограничиваются. И вот за это расширение спасибо надо сказать уже, конкретно, Пифагору.
Ну и ещё у Пифагора есть прото-рациональные интуиции: в его представлении полноценным числом является такое, которое можно представить в виде частного двух других. Де-факто, это определение рациональных чисел (хоть и не осознаваемых пифагорейцами в качестве таковых).
Так что, как-то так.