Я сюда еще позже вернусь, но начну с классического учебника по ТФКП - Введение в комплексный анализ, Б.В. Шабат. В двух частях.
Это, на мой взгляд, тот случай, когда студенческий учебник и достаточно подробен (в целом после курса мат.анализа его можно читать без особых затруднений), и, при этом, не слишком обширен. Это хорошая база для дальнейшей работы с аналитическими функциями.
Во второй части есть введение и в теорию функций нескольких комплексных переменных, в целом дающее представление о том, чем там занимаются.
Есть еще книга, которая неплохо заходит в тандеме с предыдущей - М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат, методы теории функций комплексного переменного. Она имеет более высокий входной порог, поскольку многие чисто аналитические вещи там не разжевываются и считаются известными читателю, а блок про комплексные числа совсем небольшой. Зато набор продвинутых тем очень широк, причем многие вещи вполне актуальны до сих пор.