Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника: а) через 3 шага с точностью до 0,3; б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?
Пусть Коля указал три прямые l1 , l2 и l3 . Без ограничения общности далее считаем, что эти прямые различны и каждая из них имеет с данным кругом хотя бы одну общую точку. Покажем, что найдутся два многоугольника, удовлетворяющие условиям задачи и пересекающие каждую из этих прямых, периметры которых отличаются более чем на 0,6 .
Пусть A и B – середины двух дуг, высекаемых прямой l1 на данной окружности ( AB – диаметр данного круга). Пусть также C и D – отличные от A и B точки пересечения данной окружности с прямыми l2 и l3 соответственно. Многоугольник с вершинами A , B , C и D удовлетворяет условию задачи и пересекает каждую из прямых l1 , l2 и l3 . Его периметр P1 не превосходит суммы длин отрезков AC , CB , AD и DB , а значит, и периметра вписанного в данный круг квадрата, т.е. P1 4<4· 1,42=5,68 . Добавляя к этому многоугольнику вершины на данной окружности, можно добиться того, что его периметр P2 станет близок к 2π , именно, P2>2·3,14=6,28 .
Коля не сможет "отличить" два указанных многоугольника, а значит, не сможет и наверняка угадать периметр с точностью до 0,3<(P2-P1)/2 .
Ответ: а) нет, б)да.
Подробности на сайте: https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=109507