Ответ так-то есть на вашей картинке: нужно посмотреть, как ведут себя последние цифры при возведении в степень числа 7. Нам важна только последняя цифра, потому что только она влияет на последнюю цифру следующего числа в степенном ряду.
777^1 = ...7
777^2 = ...9
777^3 = ...3
777^4 = ...1
777^5 = ...7
Итак, последняя цифра повторяется через 4 шага, начиная с 1. То есть, остаток от деления на 4 степени числа будет показывать, какая у него будет последняя цифра.
777 % 4 = 1 (остаток от деления числа 777 на 4 равен 1)
Смотрим в нашу табличку последней цифры: при остатке от деления на 4 равном 1 наше число будет заканчиваться на цифру 7.
Для убедительности закинул ваш вопрос в WolframAlpha, там тоже последняя цифра — 7.
В качестве упражнения можете попробовать доказать, что последние цифры степеней циклически повторяются. Доказывать рекомендую от противного, нужно придумать шаг, на котором всё сломалось, глянуть на предыдущий и сделать какой-то вывод.