Прежде всего, стоит упомянуть олимпиады с большой историей - Всероссийскую, Московскую и Санкт-Петербургскую (ex-Ленинградскую). Всероссийская олимпиада - это, так сказать, базовая и главная олимпиада по математике. С ней сталкивается каждый школьник, когда пишет "школьную олимпиаду", затем выступает на районной, а в случае успеха - на региональном и финальном этапах.
Кроме этих олимпиад, уже очень давно существуют олимпиады, проводимые разными вузами. Раньше они служили дополнительной тропинкой прохода в вуз без сдачи вступительных экзаменов, теперь эта система немного видоизменилась, хотя суть ее сохранилась прежней: школьник, получивший диплом одной из "перечневых" олимпиад, может поступать в выбранный вуз либо совсем без учёта результатов ЕГЭ, либо получив за ЕГЭ по математике 100 баллов.
"Перечнем" здесь назван вот этот список:
https://olimpiada.ru/article/887#math
Аналогичные списки существуют и по другим школьным предметам.
Список не фиксирован, он чуть-чуть меняется каждый год, некоторые олимпиады в него добавляются, некоторые другие исчезают, но в целом он стабилен вот уже более пяти лет. Чем выше уровень олимпиады (максимальный - 1), тем больше льгот имеют ее победители и призёры.
И, разумеется, есть очень интересные и полезные олимпиады (и не только олимпиады), не входящие ни в какие списки. Отмечу, например, геометрическую олимпиаду имени И.Ф. Шарыгина - https://geometry.ru/olimp/olimpsharygin.php
олимпиаду им. Леонарда Эйлера для 8-классников http://matol.ru/,
а также конкурс-игру Смарт Кенгуру https://mathkang.ru/smartkang, в котором можно участвовать начиная со 2 класса.