Пусть радиус большого полукруга равен 1, радиус закрашенного полукруга R<1
Тогда длина хорды, проходящей параллельно линии этого полукруга через его верхнюю точку, равна 2sin(arccos R) = 2√(1-R²)
Отсюда, радиус среднего полукруга √(1-R²), и это гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами R, по теореме Пифагора 1-R²=R²+R², окончательно R=√3/3
Искомая доля закрашенной области (√3/3)²=1/3
1 эксперт согласен
Лучший
По построению синий и зеленый отрезки равны. Из чертежа легко видеть, что если радиусы красного и желтого полукругов равны R и r соответственно, то квадрат зеленого отрезка равен R²-r² а квадрат синего r²+r². Отсюда R² = 3r²... Читать далее
2 эксперта согласны