Как при действительных a, b, c доказать, что если a*b*c>0, a+b+c > 0, то при любом натуральном n также верно и a^n + b^n + c^n > 0?

0) n=2k - очевидно

abc>0 => среди чисел a,b,c либо 1) три положительных, либо 2) два отрицательных и одно положительное.

1) очевидно

2) пусть n - нечетно и b,c<0 => a> |b|+|c| => a^n>(|b|+|c)^n > |b|^n + |c|^n (например, по биному Ньютона) => a^n + b^n + c^n > 0.