По счастью, имеется ряд источников, в которых даётся ответ на вопрос (при сдвиге аргумента первоначальной функции на единицу влево, что не важно! - Л.К.).
Привожу два из имеющихся, на мой взгляд, оптимальные (по краткости) с указанием необходимых для ознакомления страниц.
А. Артин Эмиль.
Введение в теорию Гамма - функции.
Пер. с нем. Д.А. Райкова.
М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009,
Раздел 2. Эйлеровы интегралы и гауссово произведение, стр. 15 - 17.
Вместо Г = Г (х) можно, как указывается выше, взять Г (х + 1) или х!, Для разумеется допустимых значений аргумента (они различны) в, соответственно, обоих случаях.
В. Гурвиц Адольф.
Теория аналитических и эллиптических функций: Учебник.
Пер. с нем. Ю.В. Икорникова под ред. Н.Е. Кочина. Гл. VI. Мероморфные функции. Параграф 11. Представление функции Гамма в виде бесконечного произведения. Стр.170 - 172.
Л.К.
Этот вопрос относится на первый взгляд к классу очень простых, но конструктивный ответ демонстрирует ошибочность... Читать дальше
Лучший
Факториал это дискретная функция, её нельзя дифференцировать.
Впрочем, возможно речь идёт на самом деле о гамма-функции
Она, как хорошо известно, удовлетворяет свойству Г(n+1) = n!.
Для производной гамма-функции есть такая... Читать далее
По-моему у функции обозначенной здесь за пси есть стандартное обозначение - дигамма.