Комплексные числа это точки числовой плоскости. Всё просто и понятно. Почему же вокруг них был ореол таинственности?

Пиар плохой. И по части нейминга и по части практического использования. Впрочем, по части использования у них был долгое время плохой пиар в той же степени, в какой у иррациональных чисел, единицы, ноля и отрицательных чисел. 

Ноль и единицу реабилитировал Симон Стевин (1548–1620) в De Thiende (1585)
Иррациональные числа "реабилитировали" Симон Стевин, Джон Нэпер (1550-1617) и Михаэль Штифель (1487-1567). 
А вот даже отрицательные целые и отрицательные рациональные и действительные и комплексные окончательно "реабилитировал" Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865). 
В условную доренессансную эпоху все эти числа  удостаивались крепких арготизмов и пейоративов: их ругали нецензурными словами, но продолжали ими пользоваться. 

Да, да, да. Даже после открытия формулы Кардано для кубических и формулы Феррари для уравнений четвертой степени, комплексные числа всячески обзывали, потому что не могли для них найти никакого другого применения. 

Но подход к числам поменял XIX век, подруживший логику, филологию, анализ и теорию чисел. И стало понятно, что числовая система — это язык/ словарь / грамматика, помогающий составить описание этого мира, построить модель с определенной степенью предсказуемости. 

Комплексные числа прекрасно описывают повороты и движение на плоскости (причём, в случае поворотов, без недостатков углов Эйлера), а также находят самое широкое применение везде, где нужно работать с парой действительных чисел. 

Ну и, конечно, остался этот неудачный нейминг с "мнимой единицей".
Если же мы начнем с конструктивных методов определения чисел, то весь "ореол" улетучится сам: натуральные через ординалы Цермело → целые как упорядоченная пара натуральных → рациональные как пара целых → действительные через Дедекиндовы Сечения (пара сечений) и фундаментальные последовательности (пополнение метрического пространства) → комплексные как пара действительных. 

Это лишь одна из возможных конструкций.