Научное объяснение -- понятие растяжимое. Если говорить о формальном определении этих геометрических объектов, то оно дается аксиоматически. Например в аксиоматике, предложенной Гильбертом точка, прямая и плоскость -- это объекты, которые удовлетворяют соответствующей системе аксиом.
Другое дело, что есть модель геометрии, привычная нам. Это то, что изучают, грубо говоря, в школе на уроках геометрии. Проще всего (как мне кажется) это интерпретировать через координаты: тогда прямая это множество точек, которые удовлетворяют соответствующему уравнению. Впрочем, это, конечно, не прямое определение, поскольку непонятно как определить координатную плоскость без аксиом.
При этом нужно понимать, что модель не обязана быть единственной. К примеру, рассматривая аксиоматику геометрии Лобачевского можно прийти к нескольким разным моделям. Скажем если мы говорим о модели в верхней полуплоскости (Модель Пуанкаре) то там "прямыми" называют дуги окружностей с центром на абсолюте и лучи, которые перпендикулярны абсолюту. Т.е. с точки зрения аксиом "прямыми" будут отнюдь не обычные (евклидовы) прямые. Ну и так далее.
Подробнее о разных моделях геометрии Лобачевского можно почитать, например, в книге Прасолова.
Разве что попробовать дать определение отрезка прямой: множество всех точек, для которых сумма расстояний до концов отрезка равна длине отрезка (линейная интерполяция). Для плоскости - интерполяция между тремя точками, не... Читать далее