Ответ «по определению» звучит как «по кочану», поэтому поясню.
Такое определение согласуется с математическими результатами, где возникает 0!
Например, есть n предметов. Из них нужно выбрать m. Сколько существует способов это сделать, не учитывая порядок выбора. Первый предмет можно выбрать n способами, второй n-1 способом. Последний предмет можно выбрать n-m+1 способом. Получается:
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= n!/(n-m)!
Но так как порядок выбора не важен, то надо поделить на m! Ведь именно таким количеством способов можно переставлять m предметов. На первое место можно выбрать m способами… И так далее. Последний предмет остаётся автоматически, то есть только один способ. Выходит m(m-1)…1=m! В итоге:
n!/(m!(n-m)!) — число способов выбрать из n по m.
А что если нужно выбрать m=n предметов? Существует только один способ это сделать. Но если представить n вместо в формулу, то выйдет:
n!/0!/n!=1.
Поэтому логично считать 0!=1.
1 эксперт согласен
Ответы на похожие вопросы
Почему 0!=1? — 7 ответов, задан
По конвенции. Могло и не быть принято, но приняли из нескольких соображений. Пример с гамма-функцией тут уже приводился, но я хотел бы привести другие примеры.
Ограничимся только целочисленным определением факториала без расширения на действительные числа через гамма-функцию или пи-функцию.
Что такое факториал для целых чисел?
Например,
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
Но что такое целые числа АЛГЕБРАИЧЕСКИ? Упорядоченное кольцо. В упорядоченном кольце нейтральным элементом относительно произведения является 1 . Т.о., всякое произведение начинается с умножения на нейтральный элемент:
5! = 1 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
4! = 1 * 1 * 2 * 3 * 4 = 24
3! = 1 * 1 * 2 * 3 = 6
2! = 1 * 1 * 2 = 2
1! = 1 * 1 = 1
0! = 1
4! = 1 * 1 * 2 * 3 * 4 = 24
3! = 1 * 1 * 2 * 3 = 6
2! = 1 * 1 * 2 = 2
1! = 1 * 1 = 1
0! = 1
Ситуация, когда нет никаких сомножителей, называется ,"нулевым произведением". По той же причине, кстати, для целых чисел (и только для целых!) где операция возведения в степень определяется как гипероперация над произведением, 0⁰= 1:
3³ = 1 * 3 * 3 * 3 = 27
2² = 1 * 2 * 2 = 4
1¹ = 1 * 1 = 1 — один раз число "1" и один раз нейтральный элемент относительно умножения.
0⁰ = 1 — остался только нейтральный элемент относительно умножения, других множителей нет.
2² = 1 * 2 * 2 = 4
1¹ = 1 * 1 = 1 — один раз число "1" и один раз нейтральный элемент относительно умножения.
0⁰ = 1 — остался только нейтральный элемент относительно умножения, других множителей нет.
Другой пример — из комбинаторики и теории множеств. Какой может быть смысл у операции факториала? Это количество перестановок множества из заданного количества элементов. Проведите эксперимент: возьмите три монеты и попробуйте их переставить между собой. Сделать Вы это сможете ровно шестью способами. Вот, смотрите, допустим, одну монету обозначим буквой A, вторую буквой B и третью — буквой C:
- A B C
- A C B
- B C A
- B A C
- C A B
- C B A
Можете проверить экспериментально.
Что такое 0! ? Ничто иное, как |{}|! — то есть, количество перестановок пустого множества. А у пустого множества, как и у множества из одного элемента, существует одна-единственная перестановка — "исходная позиция", "ничего не делать", "состояние покоя".
Для двух элементов количество перестановок выглядит так:
- A B
- B A
Для одного элемента:
- A — всего один элемент, единственно возможная перестановка
Для пустого множества:
- { } — есть только один сам пустой слот перестановки без элементов.
Факториалами в комбинаторике считают, как раз, вот эти вот слоты с уникальными перестановками элементов.
Хотел бы подчеркнуть ещё раз, 0! = 1 — это конвенция. Вполне возможно задать новую операцию 0!' , в которой такая конвенция работать не будет и вместо нее будет любая другая, о какой договоримся. Но для "классического" факториала была принята именно такая конвенция из трёх соображений:
- Комбинаторика и теория множеств.
- Алгебраический аргумент.
- Практическое удобство расширения целочисленного факториала на действительные и комплексные числа через гамма- и пи-функции.
Почему 0!=1? — 7 ответов, задан
Это соглашение, с которым многие формулы с факториалом становятся проще. Например, биномиальный коэффициент C_n^k определяется как n!/(k!*(n-k)!) для всех k от 0 до n. Если бы соглашения про 0! не было, то случаи k=0 и k=n пришлось бы рассматривать отдельно
1 эксперт согласен
Почему 0!=1? — 7 ответов, задан
Вот ещё одно "доказательство" мне пришло в голову.
Как известно, e=1+1/1!+1/2!+1/3!+… или sum_(i=0)^(infty) 1/i! или 1/0!+1/1!+1/2!+…, откуда 1=1/0!, или 0!=1
Вот
1 эксперт согласен
Почему 0!=1? — 7 ответов, задан
Мы хотим сохранить при n = 0 определяющую при n ≥ 1 рекуррентность, а именно:
( n + 1)! = ( n! ) • ( n + 1 ).
Подставив значение n = 0 в обе части рекуррентности, что - чуть выше, получим последовательно:
1! = ( 0 ! ) • 1, и, поскольку 1! = 1 по определению (по соглашению = конвенции), то, стало быть, отсюда необходимо, чтобы ( 0! ) = 1.
Что и требовалось установить
Л.К.
1 эксперт согласен
Почему 0!=1? — 7 ответов, задан
Это очень просто доказать.
Смотрите:
5!=1*2*3*4*5
4!=1*2*3*4 или 5!/5
3!=1*2*3 или 4!/4
2!=1*2=3!/3
1!=1=2!/2
А значит мы получаем, что:
0!=1!/1 =1
Почему 0!=1? — 7 ответов, задан
Давайте сначала посчитаем, чему равняется X!.
1 — 1
0.9 — 0.961765832
0.8 — 0.931383771
0.7 — 0.908638733
0.6 — 893515349
0.5 — 0.886226925
0.4 — 0.887263818
0.3 — 0.897470696
0.2 — 0.918168742
0.1 — 0.95135077
Как вы видите, при уменьшении до 0.5, факториал X действительно уменьшается и стремится к нулю. Однако, потом факториал начинает расти, поэтому логично предположить, что 0!=1.
1 эксперт не согласен