Да, вы правы. Этимологически это однокоренные слова, обозначающие противоположные вещи в современном русском языке.
Праформы корней этих слов выглядят следующим образом: начало — *ken, конец — *kon. Изначальный вид первого корня можно восстановить с помощью лат. recens "новый, недавний". Как видно корни отличаются только корневой гласной, что объясняется индоевропейским чередованием e/o, сохранившимся в русском языке ср. ток — течь, сбор — беру.
После этого мы можем обратить внимание на то, что в слове конец мы видим корень в исконном его виде, а в начало он изменился в -ча. Что произошло?
В истории всех славянских языков происходили такие процессы как палатализация заднеязычных и образование носовых гласных. На примере этого слова все прекрасно видно. Начнем с палатализации.
Это процесс смягчения заднеязычных звуков: г, к, х — перед гласными переднего ряда : е, и, ь (да, это бывший отдельный звук). Соответственно звук к перешел в ч перед гласным е.
После из сочетания en образовался носовой звук, так называемый юс малый — ѧ. И здесь мы уже видим реально встречающиеся формы вроде ст.-сл. начѧти, из которых уже произошло наше слово. Существование этих самых носовых звуков, кстати, подтверждается фактом их наличия в польском языке, благодаря которому их собственно и реконструировали.