Обратимся к этимологическим словарям.
Каню́чить. Этот глагол в значении «выпрашивать» образован от канюк — «вид небольшой хищной птицы» и «попрошайка». Вероятно, второе значение развилось в связи с тем, что канюк издает назойливые, просящие крики. Канюк восходит к несохранившемуся канъ — «звук, крик», вероятно, носящему звукоподражательный характер.
каню́чить «клянчить, донимать просьбами», укр. каню́чити — то же. От каню́к, из-за пронзительного крика коршуна.
Каню́чить. Искон. Суф. производное от канюк «попрошайка», в диалектах еще известного, из канюк (птица). Значение «попрошайка» объясняется надоедливым и неприятным криком птицы. Зоол. канюк — того же корня, что нем. Hahn «петух», лат. cano «пою», греч. kanachē «звук» и т. п.
Забвение внутренней формы, напр., наблюдается в слове канючить. В современном разговорно-фамильярном употреблении этот глагол, означающий: `надоедливо клянчить чего-н.,' `надоедать навязчивыми, неотступными просьбами о чем-нибудь, жалобами на что-н.', лишен образа, хотя и очень экспрессивен. Образ, лежащий в основе его, мотивировка его значения непосредственно неощутимы. Дело в том, что слово канюк, от которого произведен глагол канючить, не входит в общую норму литературного словоупотребления. Оно кажется или социальным, или областным. Как известно, родственные слова с основой кан'- широко распространены во всех славянских языках, кроме болгарского
укр. канюк, каня, канюка;
блр. коня, канькаць;
словин. kanja, kanjec `ястреб';
серб. шка́ньац `ястреб';
чеш. káпě `сарыч, мышатник';
польск. kania `коршун, курятник'; kaniuk `кобчик, сокол')
А. А. Потебня связывал эти слова с корнем *kаn- `звучать' (ср. санскритск. kakás — `цапля'; kvánati — `звучит, звенит', латинск. сапо— `пою' и т. п. (см. Потебня. К ист. звуков русск. яз., 1881, с. 19 и след.). Следовательно, канючить проникло в литературный язык из живой народной русской речи. Слова канюк и канючить были употребительны в русском литературном языке XVIII в. Слово канюк обозначало: род небольшого филина; хищную птицу, похожую на ястреба, крик которой напоминает плач. У Даля читаем: «Каня плачет, у Бога пить просит, говорит поверье в засуху, утверждая, что каня пьет лишь дождевую воду» (сл. Даля 1881, 2, с. 86). На основе этого значения возникает экспрессивно-переносное — в применении к человеку: «Безотвязный проситель, попрошайка, клянча» как выражается Даль (там же).
См. в статье В. Н. Добровольского «Звукоподражания в народном языке и в народной поэзии»: «Сарыч, или канюк, по-белорусски канюх, как и сивограк, большой любитель лесных опушек, отъемников и лугов, на которых растут высокие деревья. Канюк перед дождем кричит: пить, пить! чаю, чаю!» Канюкой в Смоленском уезде называется `неотступный и надоедливый проситель, попрошайка'. Канючить — `просить чего неотступно', ”душу вынимать“ просьбами» (Этнограф. обозр., 1894, № 3, с. 90).
На этом фоне становится прозрачной прежняя внутренняя форма глагола канючить. У Даля указано областное вологодское его значение: «визжать, плакать или плакаться» (см. сл. Даля, 1881, 2, с. 86). В словаре 1847 г. он истолковывался так: «просить неотступно, или унывным голосом, надоедать просьбами» (сл. 1847, 2, с. 160).
Но при отсутствии слова канюк в общелитературной норме современное живое употребление не вкладывает в глагол канючить никакого образа, никакой внутренней формы. Таким образом, внутренняя форма слова погасает по мере того как слово становится прямым ярлыком предмета, явления, понятия, становится немотивированным знаком значения и теряет свою образность, свой переносный смысл. Но в новом окружении, в творческом применении любое слово может опять приобрести внутреннюю форму и сделаться поэтическим образом. Строй и оттенки внутренней формы определяются контекстом употребления слова, его фразовым окружением, ситуацией его применения.
История слов. В.В. Виноградов (Историко-этимологический словарь)
Шанта́ж. Заимствование из французского, где chantage — «вымогательство».
шанта́ж Из франц. chantage — то же.
Шанта́ж. Заимств. во второй пол. XIX в. из франц. яз., где chantage — суф. производное от chanter «воспевать, вoсхвалять» < «петь». Шантаж исходно — «восхваление» (для достижения выгоды).
«шантаж, далее из франц. chantage «шантаж», далее из из chanter "петь", далее из лат. cantare «петь», восходит к праиндоевр. *kan-.»
chantage > kanichka – канючка (слав.)( редукция k/g, замена ch/t) от «канюк» - филин, докучающийся клёктом. Первоначально попрошайка, далее вымогатель.: «канюк - Безотвязный проситель, попрошайка, клянча. Канючить, клянчить, выпрашивать, докучать просьбами, надоедать, морить добиваясь чего. | вологодск. визжать, плакать или плакаться. Корневое слово от «шантаж» – канючка (слав.)
Таким образом, действительно можно говорить о дальнем родстве слов.