Есть ли что-то общее у слов "кольцо" и "околеть"?

Ну, можно сказать, что нет. Ещё во времена праславянского языка это были слова с разным значением.

Одно из них - это всякие слова с кал/кол/кел/щел/кл, которое образовано от рубить, бить, расказывать - скала, клык, щель, колоть и так далее.

А второе - это кол/кал со значением "крутить", "вращать" - колесо, калач, кольцо, околесица и прочие.

И вот слово "околеть", скорее, относится к первой группе, то есть основано на слове "кол" в значении "становиться твёрдым, как кол; окоченеть". В нашем языке они похожи, но если проанализировать другие славянские и не очень языки - в каких формах в них попали эти два слова и какие изменения претерпели, то родство слов "кол" и "околеть" становится более заметным.