Если вас интересует генеалогический поиск, то можно посоветовать только одно: собрать всю известную информацию, опираясь на семейный архив (Ф. И. О., даты, места рождения и смерти), и отправлять запросы сначала в загсы, а потом в соответствующие архивы. Полезным ресурсом для вас будет форум ВГД, где можно найти единомышленников, интересующихся той же фамилией.
Не думаю, что все носители этой фамилии являются родственниками. Уже в XIX веке ее география была довольно широкой (Маюновы жили в Московской, Томской, Владимирской, Самарской и других губерниях).
Что касается истории самой фамилии, то возможна ее связь с глаголом маяться («мучиться» или «заниматься изнурительной работой»). От этого глагола образовалось прозвище Маюн, ставшее впоследствии основой для фамилии (суффикс -ов – патронимический, он указывает на принадлежность к роду человека, носившего такое прозвище).