Краткая версия - предком гамбургера явился татарский перемяч - фарш в тесте, жареный на сковороде - родственник беляша, подаваемый с соусом (сметана или кырт, катык). Это блюдо оказалось в Гамбурге, оттуда с эмигрантами попало в Штаты в измененном уже виде. На сковороде жарили уже только котлету, оболочку из теста заменили булкой, порезанной вдоль, как это делают немцы в belegte Broetchen, где "начинкой является ветчина и Ко. Не знаю, насколько это все так (ни в какой википедии не смотрел)