Какие навыки будут реально полезны и как их получить, если я хочу начать работать веб-программистом?

Веб программист делает сайты и сервисы которые визуально всегда отображаются благодаря только: HTML и стилизуются при помощи CSS.

Отсюда первый вывод: навык вёрстки используя HTML & CSS (как вариант: когда уже мало-мальски верстаешь... можно устроиться работать верстальщиком и пока верстаешь оттачивать вёрстку и углубляться в изучение программирования)

В Web несмотря на холивары всё ещё преобладающее число сайтов написаны на PHP. Кто то будет говорить JS, кто то будет говорить Python, всё это холивары и имхо - бред. Но отсюда ещё один вывод: Нужен навык писать на языках для Web-разработки: JavaScript, PHP, Python и так же как вариант можно рассматривать Go. И нужно знать язык запросов SQL в БД для популярных БД: MySQL & PostgreSQL.

Для дальнейшего развития надо понимать:

В web-разработке очень часто испольpуют фреймворки, так что знать их будет полезно, хотябы на уровне - как сделать простое приложение.

Популярные фреймворки: jQuery(js), React(js), Vue.js(js), Angular(php), Symfony(php), Laravel(php), Yii2(php), Bootstrap(css), Django(python).

Так же неплохо владеть: linux консолью, git, docker, очереди ( redis, kafka, RabbitMQ), регулярными выражениями и важно так же уметь писать/придумывать алгоритмы и абстрактные модели.

Как то так. Разбираясь в этом можно неплохо устроиться...

А получать навыки надо на практике... Придумывай свои проекты и создавай их локально на домашнем компьютере... То что годное выноси в интернет как показатель твоего скила, а так же заливай успешные проекты на GitHub.