Среднее время работы каждого из трех элементов, входящих в техническое устройство, равно 750 часов. Для безотказной работы устройства необходима безотказная работа хотя бы одного из трех этих элементов. Определить вероятность, что устройство будет работать от 450 до 600 часов, если время работы каждого из трех элементов независимо и распределено по показательному закону распределения.
Решение
Рассмотрим случайную величину T – длительность времени безотказной работы i -го элемента (i = 1,2,3).
По условию задачи случайная величина распределена по показательному закону распределения. Математическое ожидание случайной ве-
личины T по условию равно M(T )= 750 .
Значит, параметр распределения λ будет равен: λ = 1 = 1 .
M(T ) 750
Следовательно, функция распределения случайной величины T примет вид
1 t, t ≥ 0,
F(T)= 1- e 750
t < 0.
0,
Вероятность того, что случайная величина T примет значение из интервала (t 1, t 2 ) определяется формулой:
P(t 1 < T < t 2 )≈ F(t 1)- F(t 2 ).
Рассмотрим события A k − k -ый элемент устройства безотказно проработал от 450 до 600 часов, A k − k -ый элемент устройства во время работы отказал, (k =1,2,3).
Определим вероятности этих событий
P(A 1)= P(A 2 )= P(A 3 )= e - 450/750 - e - 600/750 = e - 0,6 - e - 0,8 ≈ 0,0995 ,
P(A 1)= P(A 2 )= P(A 3 )= 1- 0,0995 = 0,9005 .
Пусть событие A −устройство во время работы вышло из строя. По условию задачи устройство выйдет из строя, если откажут все элемен-
ты, значит A = A 1 A 2 A 3 . Так как работа элементов независима, то вероятность отказа устройства равна
P(A)= P(A 1)P(A 2 )P(A 3 )= 0,9005 0,9005 0,9005 ≈ 0,7302 .
Значит, вероятность безотказной работы устройства будет равна
P(A)= 1- P(A)= 1- 0,7302 = 0,2698 .
Ответ. 0,2698.