Можно ли сказать, что домашние кошки, тесно сосуществующие с человеком, начинают руководствоваться человеческой моралью? Мой кот не нападает на слабого уличного кота, и чужих котят, из за жизни дома?

Может я и ошибаюсь, но дело в другом, по-моему. Есть ряд классических исследований в физиологии (биологии), которые определили, что одомашнивание любого животного приводит к тому, что его уровень агрессии, по сравнению с диким животным, становится ниже. Здесь ряд взаимосвязанных причин, в т.ч. и то, что люди за тысячи лет приручения, по сути специально проводили селекцию, отбор более добрых животных для себя, т.к. с такими удобнее вместе сосуществовать, чем с агрессивными животными. Я как-то видел волка в зоопарке, который вёл себя как дворняга, прыгал, скулил, вилял хвостом перед своим надсмотрщиком, а тот его даже спокойно погладил! Все эти изменения закреплены на уровне гормонов надпочечников - активность работы этой железы у домашних животных ниже, чем у диких. Это эволюционный подход. А, если говорить о влиянии одомашнивания на животное здесь и сейчас, то некоторые исследователи сейчас прямым текстом говорят, что домашние животные, особенно те, которые живут с людьми со своего рождения, уже на уровне биохимии мозга отличны даже от уличных, не то, что диких сородичей. 

Так что, да, разумеется, что домашняя жизнь влияет на животных, но мораль - это сугубо человеческое понятие, животные же действуют из необходимости, целесообразности, а мы уже потом их действиям приписываем какую-то моральную окраску.

Ну, а если вы пару раз по носу щёлкнули своему коту за то, что он напал на другого, более слабого кота, так мораль и одомашнивание тут вообще не при чём - это вы у него выработали простейший условный рефлекс - не нападай - не получишь по носу.