Биотехнология под собой объединяет ту же биоинженерию, биоинформатику и т.д и т.п.
Биоинженерия, конкретно, занимается решением задач из биологии (грубо сказано) с применением опыта из других дисциплин вроде физики, математики и т.д.
К примеру у нас есть задача - обеспечить человеку фильтрацию, происходящую в почках, но без самих же почек (к примеру, если они не справляются и перестают функционировать). Для этого мы применяем знание - почки фильтруют кровь, это происходит в нефронах, там есть такие этапы прохождения по канальцам, там есть такие клетки, которые выполняют такие функции. Эти канальцы и эти функции мы переносим в отдельный аппарат для плазмафереза и таким образом решаем задачу.
Это и есть биоинженерия, которая относится к биотехнологии, которая под собой объединяет множество дисциплин и методов. Но в основе - решение технологических задач, применяя методы из других дисциплин.