Расскажу про две не совсем решенные в теории чисел.
Имеются огромные продвижения в одной из самых древних открытых проблем - о бесконечности пар простых близнецов.
Начало прорыва - публикация работы американского математика Итана Чжана. Сама эта публикация была у него всего-то второй, хотя в 2013 году, когда была опубликована статья Чжана ему было уже под 60 (после получения PHD от не смог найти работу по специальности, работал где придется, а математикой занимался как любитель).
В статье Чжана доказано, что что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 70 миллионов. А близнецами называются простые числа, отличающиеся на 2. Это несколько меньше, чем 70 000 000. Но важен сам факт.
Вскоре после публикации Чжана группа специалистов под руководством Теренса Тао уменьшила границу по 246. Но дальнейшие продвижения требуют каких-то новых идей и прорывов.
2.
В августе 2012 года профессор Киотского университета Синъити Мотидзуки разместил на университетском сайте огромную (1500 страниц) работу, в которой изложил, нак называемую "Интер-универсальную теорию Тейхмюллера".
Из этой работы, в частности, следовала справедливость очень важной для теории чисел abc-гипотезы. Несмотря на огромный интерес специалистов за прошедшие 9 лет математическое сообщество так и не пришло к единому мнению о корректности доказательства Мотидзуки. Несколько математиков (во главе с Иваном Фесенко) заявили, что разобрались (за несколько лет упорного труда) с идеями Мотидзуки. Скептики ссылаются на авторитет Петера Шольце и Якоба Стикса, утверждающих, что в доказательстве имеется неустранимый пробел.
В этом году Мотидзуки опубликовал большую статью, в которой он обосновывает свое несогласие с критиками.
Большинство математиков ждут, чем же закончится этот спор.
Кстати (или некстати), Освальд Тейхмюллер (чьими идеями руководствовался Мотидзуки) был убежденным нацистом (погиб осенью 1943 года где-то под Полтавой).
Про саму abc-гипотезу и массу ее замечательных следствий напишу в следующий раз.