Естественно, никакой. Потому что "русская душа" это совершенно не научное понятие.
Во-первых, Достоевский не был психологом. Он был писателем. У него не было медицинского или психологического образования.
Писатель - это, скорее, философ.
Во-вторых, как это душа может быть "русской"? Это противоречит даже каноном официального православия (христианства).
И третье. Зачем ее разгадывать?
Под "русской душой" имеется в виду, чаще всего, менталитет нации.
Но разве Достоевский писал про нацию? Он писал про философско-исторические споры в среде 2% российского населения, грамотного, толкового, на что-то способного.
Про остальных он написал "Бесы", но это тоже не про душу и менталитет, а про революцию.
Увы, но ничего он не разгадал, опасность предвидел не там - все либералов чмырил, все западников, все католиков, а рухнула империя благодаря самым что ни на есть славянофилам-востоколюбам.
Отчасти предвидел большевиков, но для писателя такой величины - позор насколько мало.