Есть конечно ещё 1 вариант. подключить геймпад к компуктеру и стандартными средствами винды отколебровать его, там будет видно, есть ли действительное залипание стика, а так в целом если вы уверены в том, что проблема механического характера, то действительно первый и самый очевидный способ - это разобрать и в таком состоянии его протестировать, может действительно проблема в пыли
Разобрать, почистить от грязи и, в лучшем случае. В худшем случае замена стика. Больше вариантов не видя геймпада предложить не могу к сожалению