Власть в разных странах имеет различную структуру. Все республики можно разделить на президентские и парламентские. США и РФ относятся к первому типу. Это означает, что во главе исполнительной власти стоит президент. Его избирают напрямую, не спрашивая мнения парламента. Именно его решения являются главными или последними в цепочке принятия решений (речь идёт об управленческих решениях, а не о законодательных или судебных - на эти виды есть свои структуры), именно он определяет в конечном итоге направление развития страны, её внешнюю и внутреннюю политику. Он назначает правительство и может его распустить. Он имеет право вето и право объявлять или заканчивать войну, например, и т.д. А правительство в этой ситуации - это просто помощники реализации планов президента на различных направлениях. Им президент делегирует полномочия для реализации намеченных планов. Наличие председателя правительства в РФ ничего не решает. Этот пост создан просто для удобства управления: президенту иногда удобнее не напрямую раздавать задачи министрам и спрашивать с них, а назначить специального человека - премьер-министра, который будет отчитываться за все правительство сразу.
В парламентских республиках все по-другому. Там главного управленца народ не выбирает напрямую: народ выбирает парламент, а уже парламент назначает правительство и его главу. И так создаётся структура исполнительной власти. В такой структуре главный исполнитель - председатель правительства (премьер-министр или, например, гос. канцлер). Вся полнота исполнительной власти сосредоточена в его руках. Президент в таких странах тоже может быть, как в ФРГ, например. Но эта должность скорее церемониальная или как говорят президент в таких странах выполняет представительскую функцию. Если взять в качестве примера ФРГ, то там президент избирается совместно парламентом и местными советами земель (не народом напрямую) и его деятельность заключается в окончательном подписании документов, в т.ч. международных договоров, налаживание взаимодействия между ветвями власти и с представителями других государств. Эта деятельность более или менее формальная, поскольку реальные решения принимает канцлер. Однако у президента есть одна важная функция: в случае, если происходит парламентский кризис, например, если правительство или канцлер подают в отставку или парламентские фракции не могут сформировать правящую коалицию, то именно президент эту отставку принимает, а также назначает временного и.о. канцлера, также он подписывает назначение нового канцлера и он же имеет право в случае отсутствия правящей коалиции, распустить парламент и назначить новые выборы. Кстати, именно благодаря решению президента Германии под нажимом промышленников Гитлер в свое время был назначен и.о. канцлера…
В общем, политические системы разные и роль президента в них разная…
Насчёт подотчетности президента вы отчасти правы: он не отчитываться ни перед кем, кроме тех, кто его выбирает, т.е. в президентских республиках - перед народом, а в парламентских - перед государственным законодательным собранием, например. Тем не менее, президент не стоит "выше разделения властей". Например, президент может вносить законопроекты на рассмотрение парламента и накладывать вето на принятые парламентом законы. Однако парламент тоже имеет свободу законодательной инициативы, выражающуюся в том, что он может создавать законы по собственной инициативе без консультаций с президентом, а также может отклонить законопроект, предложенный президентом. Также президент не имеет права воздействовать на работу судей. Президент также не должен напрямую влиять, например, на работу национального центробанка. Наконец, президенту может быть объявлен импичмент. Так что прав у президента много - это да, но это не значит, что он может самолично править как царь, потому что в структуре власти предусмотрены механизмы, которые ограничивают сферу деятельности президента исполнительной ветвью власти, а также предусматривают процедуру досрочного отстранения президента от власти.