Правда ли, что спецслужбы прослушивают телефонные разговоры/читают переписки в соцсетях, если в них ведётся разговор о чем-то противозаконном?

Если брать прослушивание телефонных переговоров, которые регулируются ФЗ "Об оперативно-розыскной деятельности", то оно разрешено не только у обвиняемых или подозреваемых, но и других лиц, если будут основания того, что та информация, которая проходит в данном разговоре, имеет значение для уголовного дела.
Если мы говорим о прослушивании лиц, которые не причастны к преступлениям и в отношении которых осуществляются гласные и негласные мероприятия сотрудниками ФСБ, то в соответствии со ст. 9 ФЗ "О ФСБ" "Проведение контрразведывательных мероприятий, ограничивающих права граждан на тайну переписки, телефонных переговоров, почтовых, телеграфных и иных сообщений, передаваемых по сетям электрической и почтовой связи, допускается только на основании постановления судьи и в порядке, предусмотренном законодательством Российской Федерации" и здесь есть определенный перечь мотивировок, на основании которых можно предоставить такое ходатайство. Т.е. просто так из интереса никто не будет прослушивать человека, у сотрудников своих дел достаточно.
Если говорить в общем, то прослушивание телефонных переговоров осуществляется только в отношении тех лиц, которые вызывают интерес для сотрудников правоохранительных органов, поскольку это позволяет им получить необходимые сведения о готовящихся преступлениях или уже совершенных, например. 
Я не думаю, что у спец. служб есть время сидеть и прослушивать телефонные переговоры тех, кто никак не проявляет какую-то противозаконную активность, потому что, извините, слушать разговоры "о грязном белье" и "бытовухе" - у них нет времени.
Что касается вопроса о том, что это нарушает наши конституционные права. Чисто субъективное мнение, то если речь идет о каких-то противозаконных событиях, то тут уже невозможно обойтись без нарушения права на тайну переписки, телефонных переговоров и прочее (ст. 23 Конституции РФ). Однако даже сама Конституция в этой статье прям говорит о том, что "Ограничение этого права допускается только на основании судебного решения".
Кто-то может возмущаться, говоря о том, что права нарушаются, а государство гарантирует те самые конституционные права. Здесь речь уже идет о двух сторонах медали. С одной стороны, если это право не будет нарушаться у одного человека/двух/трех (на основании судебного решения), то тем самым правоохранительные органы нарушат права других граждан (причем в больших количествах), свои законодательно закрепленные права и обязанности, потому что будет совершено преступление, а это значит, что будут последствия и жертвы. И не важен даже характер преступления, потому что если не будет нарушено данное право В БЛАГИХ ЦЕЛЯХ, то мы будем слышать и видеть многочисленные террористические акции и прочее.
С другой стороны, да, нарушается, но, опять же, вся та информация, которая стала известна сотрудникам спец. служб не распространяется. Если они понимают, что человек законопослушный, не готовит преступление, то ОРМ перестают применяться в его отношении, потому что данный человек становится не интересным в юридическом плане. И повторюсь, никому не надо слушать про то, как вы обсуждаете свои бытовые и прочие дела :)