Доказать существование твердого металлического ядра невозможно, Землю так глубоко не просверлишь, чтобы нам не показывали голливудские фильмы. Предположить с очень большой вероятностью вполне можно.
Существуют сейсмические волны, которые распространяются во время землетрясений или ядерных взрывов. Наблюдая, как распространяются эти волны по веществу, можно судить о его структуре. Взорвали бомбу на одном конце планеты - волны можно зафиксировать на другом.
Помимо этого сейчас принято считать, что магнетизм земли обусловлен вращением металлического ядра в центре планеты, что тоже косвенно позволяет верить в его существование.