Чтобы ответить на этот вопрос, нужно понять когда начали лепить снеговиков и кто это в основном делал, смотрите.
По европейскому преданию, снеговиков придумал в XII веке рыцарь Джованни Бернардони - они же святой Франциск Ассизский, Согласно житию святого, Франциск, борясь с искушавшими его бесами, начал лепить снеговиков и называть их своими женой и детьми. В лепке снеговика угадывается прообраз сотворения человека, только теперь акт творения принадлежит самому человеку.
Источник: istpravda.ru
Как видно, снеговиков изначально лепили в целях больше религиозных, чем в развлекательных. И облик у них уж точно был не совсем такой, какой изображен на картинке в шапке вопроса. Вот, посмотрите например на снеговика в XIX веке в Германии:
В России снеговики свой "классический" облик обрели лишь в XIX веке. Почему именно угли и морковка? Снеговики всегда были развлечениями детей небогатых и первое, что приходит в голову - это типичные, доступные в Российских деревнях вещи - морковь и угольки из печки.