Объяснение на пальцах:
И то, и другое в отношении фотона является полезной абстракцией.
Поскольку фотон совершенно не доступен для освоения органами чувств человека, нам остается для удобства сравнивать его с понятными нам объектами: частицей и волной. Причем сравнением его с волной мы объясняем одни его свойства, а сравнением с частицей - другие.
Это похоже на то, как музыкальные критики, улавливая в музыке признаки двух разных жанров, выдумывают новый жанр, типа "acid jazz" или "pop rock".
Кстати, это все относится не только к фотонам. С подобными проблемами сталкиваются ученые, когда пытаются описать и другие очень маленькие объекты - электроны, протоны и так далее. Мы тоже ведь наверняка представляем себе электрон как маленький-маленький шарик, потому что нам так проще. На самом деле, электрон - тоже немного волна.
В 20-м веке ученые более-менее поставили крест на том, чтобы описать реальность на микроуровне с помощью понятных аналогий из реального мира, и перешли к заметным абстракциям, в которых уже совсем не важно, о чем идет речь, о волне или частице. Квантовая механика оперирует чем-то третьим.
Это значит, что "физикам" для расчета иногда удобнее считать его волной, а для других расчетов - частицей. Как на самом деле устроен фотон никто точно сказать не может, поэтому есть много разных теорий его строения.
Хорошие физики знают, как устроен фотон!