Можно ли интуитивно понимать, где ставить запятую, при этом не зная правил пунктуации?

Вот прям чтоб совсем интуитивно и при этом по всем правилам  — скорее нет.

В этом легко убедиться, посмотрев, какие ошибки часто встречаются в интернете; причём наиболее показательно тут будет не то, где люди запятых не ставят (многие просто ленятся/забывают/не считают нужным это делать), а то, где они ставят их вопреки всем правилам — это как раз языковая интуиция работает.

Первый приходящий на ум пример — знаменитая запятая после длинного подлежащего:

Доктор филологических наук Александр Александрович Александров и примкнувший к нему доцент Сергей Сергеевич Сергеев из института иностранных языков, с поразительным упорством искали, чем бы опохмелиться этим крайне непростым утром.

Я, конечно, слегка утрировал необходимую степень громоздкости предложения, но суть одна: когда огромное подлежащее наконец заканчивается, запятую там поставить действительно очень хочется, да и в речи там будет интонационная пауза.

В данном же случае ситуацию усугубляет ещё и то, что сразу после этого идёт ещё один член предложения, относящийся уже к сказуемому, и подсознательно тянет поставить там запятую просто чтобы как-то это обозначить — мол, не перепутайте, поразительным упорством характеризовались не иностранные языки, не институт и даже не Сергей Сергеевич, а всего лишь данный конкретный процесс поиска опохмела. А в литературном языке, где этой запятой нет, приходится выводить это из контекста за два-три перепрочтения предложения; причем если подставить туда вместо этого «со своими жёнами», например, расстановка запятых по нормам поменяться не должна, а вот относиться это будет уже к подлежащему. Так что нет ничего удивительного в том, что интуиция требует там эту «ненужную» запятую: вероятнее всего, она просто чуть умнее достаточно старых и закостеневших официальных правил.

Ну и кстати, в том же самом примере про жён многие поставят запятую не только после подлежащего, но и перед его последней частью: так выйдет однозначно показать, что жёны всё-таки были у обоих почтенных господ, а не у одного Сергея Сергеевича.

Вообще с длинными конструкциями проблем немало, вот, например, ещё одна (да простит мне моя учительница литературы столь вольное цитирование классиков):

Ранним утром четырнадцатого числа весеннего месяца нисана, прокуратор Иудеи Понтий Пилат вышел в крытую колоннаду между двумя крыльями дворца.

История тут примерно та же: конструкция в начале предложения так длинна, что хочется отделить её запятой от всего остального. А тут это ещё и обстоятельство, в то время как в норме русское предложение обычно начинается с подлежащего, и запятая тут как бы показывает, что вот это была вводная штука, а дальше уже начинается нормальная часть с привычным порядком слов.

Есть и обратные случаи, где запятая стоять должна, но интуитивно и интонационно не чувствуется:

То как изящно Вася сумел выкрутиться из этой ситуации — лучшее, что я видел в своей жизни!

Ну не делают люди интонационной паузы после единственного короткого служебного слова, и всё! А дальше ещё нужна запятая перед тире — это ж вообще кромешная хтонь, которую уж точно совершенно невозможно прочувствовать.

Со вводными конструкциями так и вовсе творится чёрт пойми что: иногда их хочется выделять, иногда нет — как в случаях вида «На мой взгляд он достаточно неприятный» или «Ты конечно спроси, но шансов по большому счёту почти никаких», а также при сочетании нескольких таких конструкций подряд: «Ну по ощущениям конечно получилось так себе»/«В целом может быть я даже успею» . В последних двух примерах, вероятно, дело ещё и в том, что сама вводная конструкция начинает нести какую-то смысловую нагрузку, а её части относятся не только к основному высказыванию, но и друг к другу. Сложно всё, в общем.

Ну и наконец добивающий удар по языковой интуиции:

Последний негритёнок повесился и никого не стало.

В конце истории последний негритёнок повесился и никого не стало.

В одном из этих предложений есть запятая перед союзом и, в другом — нет. И поди-ка пойми без знания правил, чистой интуицией, какое где, а уж объяснить это чем-то, кроме сложившейся исторически грамматики, точно не представляется возможным.