Может ли студент устроиться секретарём в свой вуз?

Может. Нужно ответить на несколько побочных вопросов:
1) требуется ли соответствие требованиям проф. стандартов? Если нет - то и проблем нет. Если требуется определенный уровень образования, то требование нужно выполнять;

2) форма обучения - если безотрывная (очно-заочная, заочная), - то см. п.(1). Если очная - то неполный рабочий день и договоренности:
— с непосредственным (прямые - не в счет) начальником о времени работы;
— с преподавателями - о вполне вероятных пропусках занятий и возможности отработки

В мою бытность студентом (за 25… 20 лет до нашей эры) я работал лаборантом на свой кафедре, а практически все секретари (на кафедре, в деканатах и частично - в ректорате) были студентами вечерней (очно-заочной) формы обучения.

И "вдогонку". В 90-х годах в учебной лаборатории на моей (могу так говорить) кафедре работали штатными лаборантами — помогали проводить занятия преподавателям,— на бюджетных ставках с неполным рабочим днем учащиеся старших (9..11 классы) соседней школы. Естественно, с оформлением трудовых книжек и социальными гарантиями.